lineer cebir sorusu

[Batuhan_BJK]

bi zahmet şu iki soruya bir el atın. bir de C[0,1] uzayı ne oluyor anlamadım :S

[Bloodless]

0 - 1 aralığı işte örnekleme aralığını kendin belirle

[Saykoleo]

1. C[0,1] uzayı [0,1] entervalinde continous olan fonksiyonlar uzayı demek. Yalnız scalar product tanımladığına göre, sizin hoca L^2[0,1]'den bahsediyo olmalı. Çünkü C[0,1] normalde ||.||_infinity normuyla bi banach space ve scalar product'ı yok. Scalar product'ı olan ve complete olan uzaylara da Hilbert space deniyor(complete olmayı şimdilik boşverebilirsin :)).

	Neyse L^2[0,1] den bahsettiğini farzedersek,

	<f,g> = integral(0,1) [f(t)g(t)dt]

	diye tanımlı.

	Bu durumda

	<e^x,e^-x>= integral(0,1) [e^t e^(-t) dt] = 0 eder.

	<x,sin(pi x)>= integral(0,1) [(e^t (e^t pi - e^-t pi))/2i dt]

	             = integral(0,1) [(e^(t+1)pi - e^(1-t)pi)/2i dt]

	             = [(e^(t+1)pi)/pi + (e^(1-t)pi)/pi]_(0,1)  *  (1/2i)

	             = (1/2i)* [(1/pi + 1/pi) - (-1/pi - 1/pi)]

	             = pi/i eder ki bence bir yerde hata yaptım

	

	

	

	2. Norm (hem de metricten daha güçlü) bir uzaklık ölçüm şekli olduğu için, 3 tane aksiyomu var. Ki gayet doğal aksiyomlar:

	

	   1) X vector, a scalar'sa ||aX||= |a|. ||X||

	   2) ||X||=0 => X=0

	   3) ||X+Y|| küçük eşittir ||X||+||Y||

	

	

	   Bu 3 aksiyomu test etmen lazım bu ikisi için:

	

	

	  (a) ||cf|| = |cf(a)|+|cf(b)|

	             = |c|[|f(a)|+|f(b)|]= |c|.||f|| okay

	      ||f||=0 => |f(a)|+|f(b)|=0 

	               burda hata var çünkü f(a) ve f(b), 0 olan ama geri kalan entervalde 0 dan farklı değer alan fonksiyonlar var demek ki,

	f=0 olmak zorunda değil, yani bu bi norm değil

	 

	

	  (b)  ||cf||= max|cf|

	             = |c| max|f|=|c|.||f|| okay

	       ||f||=0 => max|f|=0 => f=0 okay

	       ||f+g||= max |f+g| küçük eşit max|f|+max|g|= ||f||+||g|| okay

	demek ki ikincisi bir norm oluşturuyor, zaten C[0,1] in klasik normu kendisi

	

	

yalnız bu ders cebir dersi diil, lineer cebir hiç değil. fonksiyonel analiz diye geçer bu ders; veya lisanstaysan ve reel yapıyosanız herşeyi reel analiz diye de geçebilir.

Biraz karışık oldu, muhtemelen de ilk soruda 2. şık hatalı oldu, bi işlem hatası var orda, bulamadım şimdi bu karmaşada, ama biraz bakarsan çözebilirsin. keşke latex olarak yazabilseydik paticiğe de nedanko'ya yük olur şimdi :)

[Deacon]

Ben de ne kadar yetersiz lineer cebir eğitimi almışım diye düşünüyordum.

[Saykoleo]

tamam hatamı buldum ikinci integralde, x değil de e^x gibi görmüşüm ben olayı, bu durumda direk ingilizcesini de bilmiyorum türkçesini de ama fransızcası integration par parties yapabilirsin:

	 int(uv)'-int(u'v)= uv - int(u'v)= int(uv')

	

	<x,sin(xpi)> = int(0,1) [tsin(tpi)dt]

	             = [pi.t.cos(tpi)]_(0,1) - int(0,1) [sin(tpi)dt]

	             = 0 - int(0,1) [sin(tpi)dt]

	             = [-cos(tpi)/pi]_(0,1)

	             = 0

	

doğru olsa gerek :)

[Ardeth]

o ifade içersindeki fonksiyonları çarpıp 0'dan 1'e integral alacaksın. fonksiyonların vektör uzayında iç çarpımı (ve dolayısıyla iç çarpımdan gelen normu) genelde integral cinsinden verilir çünkü sonsuz boyutlu vektör uzayıdır ve bu vektör uzayının bazları bir nevi "discrete" değil sürekli değişir. sonlu boyutlu vektör uzaylarında ise toplam olarak tabi. sayılabilir sonsuzluktaki vektör uzaylarında da sonsuz toplam (seri) olarak verilir (ne de olsa bazları doğal sayılarla birebir eşleştirebilirsin).

ikinci soruda direk normun tanımına bakıp onları sağlayıp sağlamadığını kontrol edeceksin bir şey yok.

[Ardeth]

bi de bu daha çok fonksiyonel analiz sorusu olmuş