Bir çift fonksiyonun türevi veya integrali tek fonksiyon mudur?

[SpiderS_DangeR]

Ya da tam tersi?

[Fin]

degildir

[SpiderS_DangeR]

neden

[Fin]

f(-x) = -f (x) Tek
f(-x) = f (x) Cift

bu kosulu saglamasi gerekir turev yada integral aldiginde polinom derecesi artar/azalir sabit sayi ortadan kalkar o yuzden oyle bi kural yok diye biliyorum ama bazi istisnalar uyabilir gibi.

[Batuhan_BJK]

valla türevi tektir diyebilirim çoğu fonksiyon için ama nasıl genelleriz bilmiyorum.
örnek:
f(-x) = f(x) ise çift
f(-x) = -f(x) ise tek

f(x) = x^4 + sinx
f'(x)= 4x^3 + cosx
f'(-x)= -4x^3 - cosx
aha buradan tek çıktı

[Bittus]

uymayan bir örenk olursa genelleyemyiz tabi. örnek düşünüyorum şimdi

[Fin]

surekli/sureksiz olduklarinida incelemek lazim bide kacinci turev alindigina ben goreli baya oldu pek hatirlamiyorum ama oyle bi genelleme yok diye biliyorum :>

[Myshkin]

bir çift fonksiyonun türevi fonksiyon olmak zorunda değil ki.

[Batuhan_BJK]

Myshkin said:

bir çift fonksiyonun türevi fonksiyon olmak zorunda değil ki.

fail

edit: süreksizlik olayı falan diyorsan birşey diyemem :D

[Bittus]

Batuhan_BJK said:

valla türevi tektir diyebilirim çoğu fonksiyon için ama nasıl genelleriz bilmiyorum.
örnek:
f(-x) = f(x) ise çift
f(-x) = -f(x) ise tek

f(x) = x^4 + sinx
f'(x)= 4x^3 + cosx
f'(-x)= -4x^3 + cos(-x)
aha buradan tek çıktı

bu böyle olmalı

ama cos(-x) = - cosx di sanırım. eğer öyleyse.. doğru olabilir. öyle miydi?

doğru ama her zaman doğru değil tabi. mesela (-90, 0) aralığında yanlış iken, (-180, -90) aralığında doğru oluyor.

bunları birim çemberi düşünerek söylüyorum tabi.

[SpiderS_DangeR]

cos-x -cosx e eşit diye biliyorum ben yav. Bir de bi fonksiyonun türevi nasıl fonksiyon olamıyor onu anlamadım fsd

[Batuhan_BJK]

öyle birşey yok. sıfır veya başka bir sabit sayı bile çıksa sonuçta bir fonksiyondur.

[codename_curse]

çift fonksyon demek g(x) = F(x) + F(-x) demektir
tek fonksyon da h(x) = F(x) - F(-x)

g'(x) = F'(x) - F'(-x) yani tek
h'(x) = F'(x) + F'(-x) yani çift

[codename_curse]

tabi F sürekli heryerde türevlenebilir falan olmalı

[Saykoleo]

codename_curse doğru söylemiş işte :)

SpiderS_DangeR said:

Bir de bi fonksiyonun türevi nasıl fonksiyon olamıyor onu anlamadım fsd

bu da şöle oluyo. mesela R üzerinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunnun türevi R üzerinde tanımlı bir fonksiyon değil çünkü 0'da limiti yok(unicity yok limitinde). Yani türevi R*'da tanımlı. Ha, bu hile gibi gelebilir, sonuçta bu da fonksiyon diyebilirsin; o zaman şöyle güzel bir örneğimiz var:
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

Her noktada sürekli, ama hiçbir noktada türevi alınamayan bir fonksiyon grubu keşfetmiş Weierstrass. Dahası kapalı bir entervalde bulabileceğin her sürekli fonksiyona istediğin kadar yakınlıkta böyle bir fonksiyon bulabileceğini ispatlamış, yani sürekli fonksiyonlar içinde dense olduğunu kanıtlamış işte. Çok var bu fonksiyonlardan.

[Ardeth]

İntegral türev krizi yaşanmış. Her sürekli fonksiyon türevlenemez ama her sürekli fonksiyon integrallenebilir. aslında sonlu tane süreksizliği olan fonksiyonlar genel olarak integrallenebilir. Soru cevaplanmış zaten ben o yüzden bu konuda bir şeyler yazacağım.

Türevlenememek demek türevin var olmaması anlamına gelmekte tam olarak. Bunun sebebi de türevin formal tanımının bir lineer operatör L üzerinden yapılması. D fonksiyon olsun türev

lim((r-r0)->0) (D(r)-D(ro) - L*(r-r0)) < epsilon(r-r_0) ->0

gibi bir ilişki üzerinden kurulur (verilen her epsilon için bu eşitsizliği sağlayan bir r-ro bulabilmeniz lazım). Bu limitin olmadığı durumlarda türev de yoktur.Dolayısıyla mesela tek değikenli mutlak değerin türevini almaya kalktığınızda x=0 noktası dışındaki her yerde bunu yapabilirsiniz ama x=0 noktasında türev olmadığı için türev x=0da tanımlı olmayan süreksiz bir fonksiyon olarak karşımıza çıkar.