matematik sorularım

[Batuhan_BJK]

aşağıda çözemediğim bazı sorular var. yardımcı olursanız sevinirim. soruları tam çözmeseniz bile çözüm yolu gösterirseniz bile yardımı dokunacaktır.

[Ardeth]

herhangi bir fonksiyonun sabit eğri yüzeyleri (misal x^2 + y^2 + z^2 =c) üzerinde gradyanını aldığın zaman ona normal olan vektörler ailesini bulursun. O vektörler ailesine gerekli parametreleri yerleştirdiğin zaman spesifik bir noktadaki normal vektörü bulursunç

Küre sabit yüzeyleri için bu gradyan(f)=(2x,2y,2z)'dir. (1,1,1) noktasında bu (2,2,2) normal vektörüdür.

Şimdi fonksiyona bakalım. Bir fonksiyonun türev'i aslında fonksiyonun kalkış kümesinde tanımadlığın bir vektörü, varış kümesindeki vektörlere götüren bir operatördür.

Dolayısıyla fonksiyonun türevini alacaksın bu D(f(x,y,z))=(df/dx,df/dy,df/dz) olacak. Bunun (1,1,1) noktasında değerlendireceksin ve bir operatör olacak. (1x3 matrix). Daha sonra onu (2,2,2) sütun vektörü ile çarpıp bir sakalar elde edeceksin. Sakalar çünkü fonksiyonun varış kümesi R, dolayısıyla bir skalar elde etmende sorun yok. Fonksiyonun varış kümesi farzı misal R^2 olsaydı, yukarda bulduğun türev operatörü 2x3 bir matrix olacaktı onu vektörle çarptığın zaman skalar değil 1x2 bir matrix bulacaktın falan filan

[Ardeth]

Son soru,

elinde iki değişkenli bir fonksiyon var. Onun Hüsseyinini inşa edip (hessian), o matrixi o noktalarda değerlendirip çıkan matrixin determinantına göre karar vereceksin. literatürde ikinci kısmi türev testi olarak geçer, yazmak yerine referans veriyorum ingilizcen yoksa söyle çeviririm

http://en.wikipedia.org/wiki/Second_partial_derivative_test

[Ardeth]

orijine en yakın mesafe sorusunda, yüzeydeki herhangi bir noktanın (0,0,0)noktasına uzaklığını veren fonksiyonu inşa edip onun minimumunu bulacaksın (son sorudaki yöntemle mesela).

sonraki soruda benzer. o iki soruda mesafe fonksiyonunu inşa ettikten sonra gerisi kolay biraz düşünüp sana orijine olan mesafeyi veren fonksiyonu bulman lazım sadece.

[Dartanian]

alan yetkilisi olmayı hakeden bi alan yetkilisi

[Batuhan_BJK]

şimdi son soruda öyle yapacagımı biliyordum da.
fonksiyonun sırayla x'e göre ve y'ye göre kısmi türevlerini alıp sıfıra eşitlemeyecek miyiz? buradan çıkan (x,y) değerlerini de ikinci türev testiyle falan halledicez, max mı min mi eyer mi bakacağız. fakat kısmi türevleri alınca şurada işin içinden çıkamadım.
Fx = 3x^2 - 6x + 3y + 6
Fy = 3y^2 + 6y + 3x

[Ardeth]

tam okudun mu wikipediadakini.

birinci kısmi türev değil, birinci kısmi türevler sana Yakub'u verir (jacobian). Onda sıfıra eşitlediğin zaman sadece extremum olanları bulursun (ki bu sana hangi çeşit ekstremum olduğunu vermez). Şu ikinci kısmı türevler matrixi inşa edersen:

http://upload.wikimedia.org/math/7/c/a/7cad3ab031859430835391995e2fb428.png

ve hemen orda yazan koşulları kontrol edersen kolay bir şekilde bulursun sonucu (M determinant).

said:

If M > 0 and fxx(a,b) > 0 then f(a, b) is a local minimum.
If M > 0 and fxx(a,b) < 0 then f(a, b) is a local maximum.
If M < 0 then f(a, b) has a saddle point.
If M = 0 then the second derivatives test is inconclusive.

Ayrıca bu sadece iki değişkenli fonksiyonlar için geçerli.

Daha fazla değişkenli fonksiyonlar için Hüsseyin matrixinin özdeğerlerine bakacaksın. Hepsi artı ise minimum, hepsi eksi ise maksimum bir kısmı artı bir kısmı eksi ise eğer noktası oluyor o zamanç

[Batuhan_BJK]

ben (a,b) ikililerini bulamadım ki ama? onları nasıl bulacağım diyorum? o denklemler çözülüyor mu ki yukarıda yazdıklarım? ben mi çözemedim acaba.
o kısmi türevleri sıfıra eşitlemicez mi yoksa? orayı çözemedim yani.

[Ardeth]

Tabi kritik noktayı da tanımlamam lazımdı. (a,b)ler kritik nokta. Kritik noktaları nasıl buluyorsun:

fonksiyonunu yakup matrixini inşa ediyorsun, o da:

[ f_x, f_y ] matrixi senin durumunda.

Kritik noktalar bu matrixin tekil olduğu durumlar, yani iki girdisi de sıfır olacak yani senin bulduğun iki denklemi sıfır yapan ikililer bulacaksın. O da basit bir denklem çözme sorusu:

Fx = 3x^2 - 6x + 3y + 6
Fy = 3y^2 + 6y + 3x

için ilk denkleme bak, sıfır olma koşullarından biri
y=-2-x^2+2x.

Şimdi bunun alt denkleme yerleştir onu sıfıra eşitle ve bunun sağlayan x'i bul. x'i bulduktan sonra ilk denklemi kullanarak y'yi bul falan. Dördüncü dereceden denklemlerle uğraşacağın için birden fazla cevap gelecek.

[Batuhan_BJK]

tamam o denklemleri çözememiştim. şimdi anladım olayı

Ardeth said:

orijine en yakın mesafe sorusunda, yüzeydeki herhangi bir noktanın (0,0,0)noktasına uzaklığını veren fonksiyonu inşa edip onun minimumunu bulacaksın (son sorudaki yöntemle mesela).

sonraki soruda benzer. o iki soruda mesafe fonksiyonunu inşa ettikten sonra gerisi kolay biraz düşünüp sana orijine olan mesafeyi veren fonksiyonu bulman lazım sadece.

burada da lagrange çarpanları yöntemiyle çözülmüyor mu yani?
f(x,y,z) = [x^2 + y^2 + z^2] ^ (1/2)
türev alırken kolaylık olsun diye karekökü yazmıyorum. diğer iki fonksiyonu da kısıt olarak aldım. oradan da karışık denklemler geliyor. o yüzden tam emin olamamıştım.

[Ardeth]

lagrange çarpanları şöyle bir şey diye biliyorum. elinde bir fonksiyon var, ve onu belirli bir sabit yüzeye kısıtlıyorsun. Misal bir f fonksiyonunu birim kürenin (g fonksiyonu ile parametrize et) yüzeyine kısıtlıyorsun. o yüzey üzerinde nerde maksimum minimum aldığını bulmak için. o yüzey aslında kısıtlama dedikleri fonksiyondan başkası değil.

grad(f) = a.grad(g) diyorsun bunu çözen l'yi buluyorsun ve aynı zamanda bir de g=c denkleminin falan kullanıp bunu sağlayan x,y noktalarını buluyorsun. (tek bir kısıt için bu)

Bunu o soruya uygulamanın bir yolunu biliyorsun uygula ben göremedim şimdi. ilk aklıma gelen yol oydu :p ama sonuçta lagrange çarpanları yolu da belirli bir kısıt altında maksimum minimum bulma problemi, çok da alakasız değil.

[Batuhan_BJK]

çünkü senin dediğin gibi bir yol görmedik biz okulda. lagrange çarpanları gördük. ben lagrange'dan yaparım o zaman.
çok sağol bu arada. ellerine sağlık.
ayrıca balon'a da selam ediyorum :)

[balon]

abi hiç bir şey yapamadım kusura bakma sağolsun ardeth ilgilenmiş , rica ederim ne demek :)

[Ardeth]

lagrange çarpanı ile şöyle olabilir.

senin bulacağın nokta ilk tanımladığın yüzeyde dolayısıla o denklemi sağlamalı yani ilk denklemin tüm terimlerini sola atarsan h(x,y,z)=0 olmalı. Aynı zamanda f(x,y,z)= x^2 + y^2 +z^2
fonksiyonunda minimum değer aldığı nokta olmalı. Dolayısıyla f fonksiyon h kısıt (diğer bir bakış açısıyla f fonksiyonunu, h yüzeyine kısıtlıyorsun) olursa lagrange çarpanı denklemi

f(x,y,z) = L.h(x,y,z) oluyor.

böyle bakabilirsin sanırım olaya