Fonksiyonlarda Süreklilik

[sigisMoNd]

selamlar

bir fonksiyonun surekli olup olmadigini verilen intervall icinde sagdan ve soldan yaklasarak anliyorduk yanlis hatirlamiyorsam. simdi elimizdeki fonksiyon:

g(x) = (1 + kok(x))^7

intervall araligi da 0 ile sonsuz. simdi buna sagdan ve soldan nasil yaklasicaz? surekli olup olmadigini nasil anlariz? hatirlayan kisiler yardimci olursa sevinirim. tesekkurler

[Sly-One]

0 koyunca sonuç 1
onun dışında herhangi bir pozitif doğal sayı koyarsan da sonuç pozitif olacağı için süreklidir diye düşünebilirsin sanırım.

[Ardeth]

Bu dönem ki matematik dünyası sayısını al limit ve süreklilik üzerine tüm sayı. Kısacası:

Bir fonksiyonun herhangi bir a noktasında sürekli olmasına şöyle bakılır:

Eğer her verilen e>0 için öyle bir s>0 varsa ki, her x için (x elemanıdır kalkış kümesi)

|f(x)-f(a)| < e => |x-a| < s ise f süreklidir.

Bu fonksiyonun sürekli olması için bulacağımız s x'den bağımsız olmalıdır ama a'ya ve e'ye bağımlı olabilir (a'dan bağımsız bulabiliyorsan düzgün sürekli, a'ya bağımlı buluyorsan düzgün olmayan süreklidir).

Şimdi herhangi bir e al ve tabi herhangi bir x

|f(x) - f(a)| = |(1+kök(x))^7 - (1+kök(a))^7| < e


-e <(1+kök(x))^7 - (1+kök(a))^7 < e

Bunu x için çözdüğün vakit

((-e + (1+kök(a))^7)^(1/7) -1 )^2 < x
< ((e + (1+kök(a))^7)^(1/7) -1 )^2

((-e + (1+kök(a))^7)^(1/7) -1 )^2 - a < (x-a) < ((e + (1+kök(a))^7)^(1/7) -1 )^2 -a

şimdi elimizde

b
max[ (((-e + (1+kök(a))^7)^(1/7) -1 )^2 - a) , (((e + (1+kök(a))^7)^(1/7) -1 )^2 -a)]

Bunların ikisinden en büyük olan değer yani bizim s değerimiz ve bunlar xden bağımsız a ve e'ye bağlı.

Hata yok sanırım bir daha bakmadım ama temel mantık böyle, hata görürseniz söyleyin tartışalım. Tabi bu muhtemelen bir ödev sorusu ama gerçek dünyada, yani uygulamada herhangi bir programda çizidirip bakmak da önce bir hissiyat edinmek için faydalı olur diye düşünüyorum.

[ginaly]

adam sürekliliği bilmiyor, senin yazdığını nasıl anlasın.

[Ardeth]

ben de sürekliliği anlattım zaten ama evet burdan olmaz tabi en iyisi matematik dünyasını almak

bir de diğer süreklilik tanımını düşündüm de (x, a'ya giderken sağdan soldan, f(x) f(a)ya gitmeli) onun hakkında aklımda kalan tek şey mutlak değer gibi ani değişim yaşayabilen ya da fonksiyonun tanımsız olduğu noktalar var mı onlara bakmak gibi tırt metodlar bir tek, formal bir yöntem yok aklımda ondan dolayı bunu yazdım.

[Sly-One]

abicim heryeri x ler y lerle doldurmadan anlatabiliyorsan bir şeyi anlamı kalır yoksa boş konuşuyorsun afedersin.

yani bilgiyi düzgün bir anlatımla aktarmak da bilgi sahibi olmak kadar önemlidir.

[Ardeth]

sen süper anlatmışsın can tebrikler

baya uzun sürer burdan anlatmak, yüzyüze anlatmam lazım düzgün aktarmak için, o yüzden dergiyi önerdim

[mulgear6]

anlatıcam ben raidden sonra sakin

[Ardeth]

Hissi bir metod için şöyle toparlayayım,

benim yaptığım süreklilik tanımı Cauchy süreklik tanımı, limitlerle yapılan süreklilik tanımı ise Heine süreklilik tanımı. Kalkış kümen realler olduğu zaman Heine süreklilik tanımı ile Cauchy süreklilik tanımı denktir, dolayısıyla doğa bilimlerinde çoğu zaman Heine süreklilik tanımı yeterdir.

Dolayısıyla bu durumda Heine süreklilik tanımını kullanırsan fonksiyonun f(x)de her x=a noktası için önce f(a) tanımlı olmalıdır. Fakat x a'ya soldan ve sağdan gidebilir, limitin var olması için diğer koşul ise x a'ya soldan ve sağdan giderken fonksiyonun değerinin aynı yere gitmesidir (bu da limitin komşuluk tanımından geliyor).

Dolayısıyla fonksiyonun öncelikle her noktada limitinin olması için ilk koşul her noktada tanımlı olmasıdır. daha sonra ise sağdan soldan yaklaşırken eşit olmasıdır. mesela fonksiyonun 1/x-2 olsaydı, daha x=2 noktasında fonksiyon 1/0 değerini aldığını için problematik olacaktı (sol taraftan eksi sonsuza sağ taraftan artı sonsuza gidecekti misal ilk problem).

f(x) = (1 + kök(x))^7 için, x büyük eşittir sıfır dediğinden dolayı tanım açısından sorun yok, eğer x sıfırdan farklı değer alabilseydi, x 0 etrafında durumu için öncelikle sıfıra yaklaşırken limit tanımsız olacaktı çünkü soldan yaklaşırken sonucun kompleks çıkma ihtimali var (^7 olduğu için yine de incelemek lazım i'ler gider mi diye) sağdan yaklaşırken ise 1. Fakat sen x büyük eşittir sıfır demişsin sorun yok. Bunun dışında başka bir x>0 için tanımsızlık sorunu yok ve limit x->a ya giderken soldan ve sağdan

x+e ve x-e ve e çok küçük bir değer gibi düşün.

f(x+e) = (1+ kök(x+e))^7

f(x-e) = (1 + kök(x-e))^7

Bunları uzun uzun açabilirsin ama fizikçi ya da mühendis bakış açısıyla e çok küçük bir sayı olduğu için ve bunların açılımında (x-e)'nin üzerinde hep 1/2 ve 7/2 arası bir kuvvet olacağı için e'lerin katkısı daha da küçülecek e->0 giderken değerler birbirine çok hızlı yaklaşarak eşit olacak (limit için de daha formal yaklaşımlar var ama buraya yazarsam laf ederler bana yine çok x,y var diye).

[ginaly]

[Ardeth]

Bundan da basidini istiyosanız, fonksiyonu çizdir kalemini kaldırmadan fonksiyon üzerinde gezebiliyosan süreklidir daha ne diyeyim yani. Bu da Descartes tanımı sürekliliğin.

[Ardeth]

Buarada ingilizce biliyorsan bir iki güzel sayfa buldum konuyu limitlerle anlatan

http://www.etsu.edu/math/gardner/1910/c2s6.pdf
http://www.tjhsst.edu/~alittle/cs_math/lim.pdf

[Ardeth]

Bu da descartes yöntemi limitin:

http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm

Burdaki online grafik programına (1+sqrt(x))^7;
fonksiyonunu girip xmin=0 xmax=500 ymin=0 ymax=100000 koyuyorsunuz (grafik çok hızlı yükseldiği için y çabuk artıyor).

Ha buarada ilk mesajımda bahsettiğim düzgün sürekli olmanın veya olmamanın hissi tanımı da şu,

f(x) için x bir noktaya doğru giderken, o noktada fonksiyona teğet doğrunun eğimi de (tani aslında o noktada fonksiyonun türevi) tanımsız olmaya doğru gidiyorsa fonksiyon düzgün sürekli değildir. Bu fonksiyon da çizdirip bakarsan nitekim öyle.

[sigisMoNd]

surekliligi o kadar da bilmiyorum degil ya. cizdikten sonra yapiyorum da. boyle 7. dereceden birsey gorunce afalladim. dershanede gostermislerdi sagdan ve soldan limit alindiginda ayni sayiyi veriyorsa sureklidir diye ama ordaki fonksiyonlar kolaydi tabi.

bu arada Ardeth okumadim henuz yazdiklarini ama sagol. cozmem gereken baya bir soru var su anda. ilerleyen saatlerde okucam yazdiklarini.

bir de sakin kavga etmeyin sdf

[Ardeth]

dershane içinse bu soru ilk mesajımı atla, matematik bölümüne girersen bakarsın o tanıma heh

[sigisMoNd]

yok yahu dershaneyi gectim. bilgisayar muhendisligi 1. siniftayim viyanada. cebir sokuyorlar sagolsunlar. bir suru tanim ispat falan istiyorlar. okucam butun yazdiklarini. Couchy gordum arada o tanidik geldi ordan yakalarim umarim.

[Ardeth]

evet o zaman göstermiş olabilirler size de cauchy tanımını o zaman bence ilgileniyorsan analizle, bundan sonra çıkacak matematik dünyası sayılarını takip etmeye çalış. arkadaşlar sevmediği için limit tanımlı siteler buldum sana ama netten cauchy tanımlı sürekliliği de bulabilirsin bol bol anlatımım karışık olduysa. ama takdir edersiniz ki matematik dünyasında bile 2-3 sayfada anlatılmış giriş kısmı dolayısıyla hiç bir fikri olmayan için burdan anlatmam çok da kolay değil.

[Ardeth]

Ha buarada bazı kabüller üzerine çözmek istiyorsan bunu şöyle yapabilirsin,

1- iki sürekli fonksiyonun birleşimi (yani fog) yine süreklidir
2- polinomlar sürekli dir
3- sürekli fonksiyonların toplamı süreklidir

(bunların detaylı kanıdı matematik dünyasında var ama sınav ise muhtemelen bunları kabul olarak alabilirsin diye düşünüyorum, yine de 2. sini kanıtlamanı isteyebilirler)

senini fonksiyonun g=1+kök(x) ve f=x^7 alırsak fog.

f sürekli polinom olduğu için. g = 1 + kök(x). bu da h = 1 ve
k = kök(x) fonksiyonunu toplamı, h=1 sürekli dolayısıyla iş artık sadece kök(x) fonksiyonun x=> 0 için sürekli olduğunu göstermeye kalıyor.

kök(x) bu aralıkta her yerde tanımlı. ayrıca

lim e->0 için kök(x+e)=kök(x-e) eşitliğini de göstermek mümkün binoma benzer bir açılım kullanarak ya da hissiyat üzerine ya da cauchy tanımı ile (bu noktadan sonra cauchy kullanmak çok karışık olmayacaktır muhtemelen).

[sigisMoNd]

sagol ardeth tekrar. okudum simdi. su son yazdigin daha bir aciklayici olmus. baska kabuller kullanarak kanitlamak daha kolay sanirim.