Lineer Cebir Sorusu

[Deacon]

Yarın finalim var, bir el atın pls.

"The vectors X1 = 1/2[1,1,1,-1] and X2 = 1/6[1,1,3,5] form an orthonormal set in R^4. Extend this set to an orthonormal basis for R^4."

Hocamız şöyle bir adımla başlamış: W = span(X1,X2) and {X1,X2} basis for W. Şimdi sorunun çözümünde hoca, üstteki vektörleri bir matrisin rowlarına yerleştirmiş. Bu vektörün rowspaceine W demiş, W'nun orthogonal complementi ise matrisin null space'idir demiş. Sonra nullspace'i span eden vektörleri bulup, bu vektörler W'nun orthogonal complementi için baz oluşturur demiş. Sonra bu vektörlere gram-schmidt uygulayıp orthogonal baz haline getirmiş.

Son olarak da bu bazları orthonormal hale getirmiş. Bu orthonormal bazlara Q1 ve Q2 adını vermiş ve ondan sonra da {X1,X2,Q1,Q2} is an orthonormal basis for R^4 diyip bitirmiş.


Sorunun çözümü bu ama kafamda bir sürü neden sorusu var. Neden orthogonal complementinin bazını buluyor? Bu bazların, rowspace'in bazlarıyla birleşimi neden R^4'ün bazı oluyor? Bilgi eksikliğim var sanırım ama yardım edebilecek varsa... :p

[Ardeth]

Hocan gram-schmidt denen metodu biraz soslamış sadece. V bir vektör uzayı olsun. W V'nin alt kümesi olsun öyleki V'ye eşit olmasın(buna gerek yok).

O zaman W + tümleyen(W) = V.

Dolayısıyla sen Wnun bazını ve onun tümleyenin bazlarını biliyorsan bunların hepsi beraber V'yi gerer. (span) tümleyen aynı zamanda öyle bir uzaydırki Wden aldığın bir eleman ile W'nun tümleyeninden aldığın bir elemanın iç çarpımı sıfırdır. Tümleyenin o matrisin çekirdeği (null space) ile ilişkisi ordan gelir. Ayrıca tümleyendeki bütün vektörler W'daki bütün vektörlerden bağımsızdır bunu da gösterebilirsin.

Hocan W'nun bazlarını bir matrise yerleştirerek W'nun tümleyen uzayını o matrisin çekirdeğinden (null space) bulmuş.

Bunun neden böyle olduğunu soruyorsan, bunu satırlardan görmek daha kolay. A nxn bir matris olsun. Eğer bu matrisin çekirdeği sıfır ise bu matris tekil değildir yani bütün satırları lineer bağımsızdır dolayısı R^n uzayını gerer. Eğer bu matrisin içersinde n tane lineer bağımsız satır yoksa o zaman bu matrisin de çekirdeği sıfır değildir. Aslında sen bu matrisi bir takım vektörlerle çarptığın zaman bu matrisin her satırındaki vektörün o vektörle iç çarpımı almışsın demektir. Bu çarpımın sana her satır için sıfır vermesi demek senin W'nun tümleyeninden bir eleman bulmuş olman demek. Dolayısıyla bu matrisin çekirdeğini geren vektörleri bulmak demek matrisin satırlarını oluşturan vektörlerin gerdiği uzayın tümleyenini bulmak demek.

edit: öf sütunla satırı karıştırdm sdf

[Deacon]

Valla ardeth sabrına hayranım. Dün gece kendim anladım olayı, şansıma bugün de sınavda çok ama çok benzer bir soru geldi ve yaptım. Geç gördüm ama çok sağolasın gene de :d

[Mathias]

diyosun y.ü. de 221 lineer alıyorum