discrete mathematics sorusu

[fizban]

gencler yarın sınavım var, anlamadığım bir arşiv sorusu mevcut HOOOP HADİ ÇALIŞIN.

[G,o] grubu var, x,y elemanları G'nin. p diye bir bağıntı var, şöyle ki xpy dediğinizde g o x o g^-1 = y , g elemanıdır G'nin.

diyor ki p'nin G'deki şu üç özelliği gösterdiğini ispatlayın; reflexivity, symmetry, transitivity.

bir de diyor ki her x eleman G için, [x] = {x} <==> G commutative ise.

bi yerden sonra tercüme etmekten baydığım bellidir sanırım.

[Ardeth]

reflexive olması için. o dediğin senin denklik sınıfı kurmak. belirli bir özelliği sağlayan elemanları aynı denklik sınıfına koyuyorsun.

1-yansıma (reflex.) için, x~x olması lazım. g elemanının birim seçersen

IoxoI^-1 = x olacağından x~x olur.

2- simetri için eğer x~y verilmişse y~x olmalıdır.

x~y demek hoxoh^-1 = y demek. sağdan h soldan h^-1 ile çarp

x = h^-1oyoh olur. Bu da x~y ilişkisini sağlar (ilk tanıma göre g=h^-1, g^-1 = h olur).

3- Geçişkenlik için (trans.) x~y ve y~z ise x~z olmalıdır.

x~y demek hoxoh^-1 = y ve y~z demek goyog^-1 = z demektir. Bunlardan

gohoxoh^-1og^-1 =z çıkar. Bu da tam olarak

(goh)oxo(goh)^-1 olduğun için x~z olur.

[fizban]

ilkinde identity'yi kullanmak aklıma gelmemişti, gratz :P
ikincide şimdi, ayrı elemanlar seçiyorum, öyle elemanlar ki goh^-1 = I dimi ?
üçüncü de aynı yerden çıkıyor

[Ardeth]

fizban said:

bir de diyor ki her x eleman G için, [x] = {x} <==> G commutative ise.

bu da "x'in denklik sınıfı x'e eşittir eğer ve eğer g değişmeli ise (komutatif)" diyor. x'in denklik sınıfı, x ile yukarda tanımladığın denklik ilişkisini sağlayan tüm elemanlar kümesi.

(<=)Eğer g komutatifse,

goxog^-1 = y => gog^-1ox = x = y

(=>)Şimdi her eleman için [x]={x} olsun. Diyelim ki G değişmeli olmasın. O zaman bir biri ile değişmeyen en az iki eleman var x ve y. Yani xoy != yox. Bu aynı zamanda xoy^-1 =! y^-1ox anlamına da geliyor (iki tarafın tersini al). Yani x y^-1 ile de değişmiyor.

yoxoy^-1 = g al. g değeri bu durumda x olamaz. Zira x olsa, yox = xoy olur. Fakat x ve y değişmeli değildi. Demek ki x'in denklik sınıfında x'den farklı bir eleman var. Fakat bu da ilk yaptığımız var sayıma aykırı. Demek ki G değişmeli.

[aquila]

kitliyorum konuyu, odev cevabi vermiyoruz.

[fizban]

ödev değil aki sınav var yarın, hem de 2. sınıf dersi lolol

ben şu notasyonun ne anlama geldiğini hala anlamadım [x] = {x} . denklik sınıfı tanımında da [] diye bir notasyon yok.

editinden sonra daha mantıklı oldu da, şunu anlamadım. x = y nasıl oluyor da bana [x] = {x} eşitliğini veriyor.

[aquila]

lan doktor cikican hala ne sinavi yaa.

[Ardeth]

valla öyle çözünce oluyor.

ben {x}'i sadece x'ten oluşan küme olarak aldım ama yerine göre x'in oluşturduğu (generate) alt grup da olabilir. yani x'in ve terslerinin falan sürekli birbiri ile çarpılması ile oluşan alt grup. Fakat o bu soruya uygun değil gibi geldi bana. veya alternatif olarak {x} x'in denklik sınıfı da olabilir hehe.

[x] de yine denklik sınıfı olabilir, x'in oluşturduğu alt grup da olabilir sdf. wikipediaya göre denklik sınıfı ama

http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_class

[Ardeth]

aquila said:

lan doktor cikican hala ne sinavi yaa.

ben mastera başladım ama hala ps'li dersim var. hayattan soğudum. bi dahaki dönem matematikten lisans dersi almıycam. masterda saat 5te problem dersine girmek çok koyuyo sdf

[Ardeth]

fizban said:

ödev değil aki sınav var yarın, hem de 2. sınıf dersi lolol

ben şu notasyonun ne anlama geldiğini hala anlamadım [x] = {x} . denklik sınıfı tanımında da [] diye bir notasyon yok.

editinden sonra daha mantıklı oldu da, şunu anlamadım. x = y nasıl oluyor da bana [x] = {x} eşitliğini veriyor.

orda herhangi x'e denk bir eleman al

goxog^-1 = y. eğer grup komutatifse y = x çıkıyor dolayısıyla x'in denklik sınıfı sadece kendinden oluşuyor...

[SpiderS_DangeR]

fizban bahçeşehir üni discrete math section 4te misin :D

[Ardeth]

boğaziçi bilgisayarda

[Ardeth]

ben de almıştım zamanında o dersi, hiç bişey öğrenmemiştim.

sonra matematik bölümünden 3. sınıf cebir dersi aldım, Ahmet hocanın cebir kitabını okudum, ha buymuş lan dedim sdf

[aquila]

ben de almisim galiba zamaninda, ne anlattigini bile hatirlamiyorum su an.

[SpiderS_DangeR]

he bizimde yarın discrete vizesi var da ondan dedim

[fizban]

doktor çıkacam hala 5'te ps'e girmem gerekiyor, giremiyorum, derslerim çakışıyor, giremiyorum, haliyle hala anlamıyorum.

peki ikinci kısmı ispatlarken, xoy != yox dedik, değişmeli olmaması için. desek ki, yoxoy^1 = g, bu g'nin [x]'ten olması için yoxoy^-1=x diyebiliriz, buradan da xoy = yox çıkar, daha pratik olmaz mı ? ha dostum ?

[Ardeth]

said:

yoxoy^-1=x

Eğer y = I seçersen bunda bir sorun olmaz (I^-1 = I olduğu için). Yani bu sağlayacak bir y bulabilirsin. O yüzden genel bir g ile işlem yapman daha doğru gibi. Genel bir g olduğu durumda y = I olamaz.

Belki daha direk bir kanıdı olabilir onun (çelişki kullandım ben ama pek sevmem çelişkiyi). Ama genelde <=> kanıtlarının bir yönünü direk kanıtlamak zor ve çelişkiye gitmek durumunda kalırsın.

[fizban]

çelişki sanırım contradiction ın mantıktaki türkçesi di mi =P

sıradaki soru da tüm sevenler için gelsin, yapamazsan modluğunu alacam.

f: S->T, g:T->S, gof = i_s, i_s S'teki özdeşlik fonksiyonu, g'ye f'nin soldan soldan gelen tersi deniyormuş.
ispatla bakalım şu teoremi: f birebir (injective) <==> f in sol tersi var

[Ardeth]

said:

f birebir (injective) <==> f in sol tersi var

Bunu biraz sözel anlatacağım.

birebirlik demek f(x) = y ve f(z) = y ise x=y olması durumu.


(<=) f'in sol tersi g olsun.

O zaman eğer f(x) = y ve f(z) = y ise,

gof(x) = g(y) = gof(z) yani x=z yani demek ki birebir imiş.

(=>) (matematik sınavında olsan bu aşağıda yazdığımı daha formal yazman gerekebilir uyarayım)

f, birebir ise her Sden alacağın x ve y için, eğer f(x) = f(y) ise o zaman x = y demek bu. Kısacası her farklı x ve y f altında farklı yerlere gidiyor.

f'in tersi g'yi tanımlayacağım. Önce T'de sadece f(x) cinsinden yazılan elemanları alalım (diğerleri f'den gelmek zorunda değil, gelmesi için üzerine (onto) olması lazım).

Her f(x) = a için, g(a) = x diye tanımlıyorum. Bunun iyi tanımlı bir fonksiyon olduğunu göstermem lazım. Yani g(a)'nın farklı iki elemana gidemeyeceğini,

g(a) = x ve g(a) = y olsun. O zaman bu f(y) = a ve f(x) = a demek fakat f birebir olduğu için bu x=y demek. Demek ki g iyi tanımlı imiş. g'nin sanırım başka bir özelliğini göstermemize gerek yok. Burda yaptığın şey aslında her birebir ve üzerine fonksiyonun tersi vardıra benzer bir durum. Sadece üzerine bilgisi yok ama ben de T'den sadece f(x) diye bulunabilen elemanlara kısıtlıyorum kendimi.

O zaman gof(x) = x

Neden sol ters? diyebilirsin. O tamamen f ve g'yi nasıl tanımladığına bakar, sol ters çünkü f ve g'nin varış ve kalkış kümeleri birbirine öyle uyuyor.

[Olivies]

xoxo

[Ardeth]

...
..X
XX.

mesela mobius bandında xox oynuyor olsak bu yenerdi.

[Ardeth]

ben yatıyorum arkamdan soru sorup cevaplayamadı falan demeyin

(bir de bir sonraki sınav için fraleigh'in cebir kitabını tavsiye ederim bu tarz örnekler olan bir kitap. ben cebir öğrencem diyen varsa ama ahmet feyzioğlu - cebir sdf)

[fizban]

kendisinden bir ders daha almaya kkthxbye derken, çözümü google'ladım şöyle birşey diyor birebirden sol tersi çıkartma olayı için :

f(S)'in elemanı olan her t için, öyle bir s vardır ki S'te, f(s)=t'dir ve bu s tektir (yani f(s) = t, f(s2) = t, s2 = s)

g(t) = s fonksiyonumuz olsun, tersten tanımlı olsun yani. f örten olmadığı için F(S)'te olup da T'de olmayanlar için de bir tanımlama yapmamız lazım, t' elemanıdır T'nin fakat elemanı değildir f(S)'in, g(t') = s', s' rastgele bir elemanıdır S'in.

ardeth'in modluğunu saklamaya karar verdim, bir dahaki sınavda görüşmek üzere.

[Fly]

discrete demişken 2 ay oldu ama toplam 6 saat ders yaptı hoca, vize de yaklaştı sormak istiyorum :

[a] diyoruz ya mesela, b'nin o sınıfta olması için b ve a aynı kümede, ba da geçerli olması gerekiyormuş
lakin sonra iki üç soru çözdü hep a->b den gitti, kafadan simetri olduğunu kabul ettiğimiz için mi bu yoksa ilk tanımı mı yanlış yaptı ? (hani ilişki yanlışsa simetrisini alayım da yanlış bir hamle olur o açıdan)

[SpiderS_DangeR]

Abi o sınıf olayları equivalence relationlarda oluyo, yani symmetric relationlar. (a,b) varsa relation da (b,a) da vardır yani. Mesela bir equivalence relation verilmiş, [a]=(b,a) deniyor, bu durumda symmetric ve reflexive özelliklerinden dolayı [b]=(b,a) diyebilirsin direk.