matematikte tümevarım

[Chewy]

Bir türlü anlamadığım bir şey var.Bilen varsa anlatırsa sevinirim.

6+11+16.......+5n+1=n(5n+7)/2

burda n=1 veriyoruz.

ordan 6=6 geliyor

2. stepte varsayım yapıyorum
n=k yaptım

yani 5k+1=k(k+7)/2


Şimdi anlamadığım yer son step olan kanıtlama step'i.

p(k+1) veriyoruz

şimdi varsayımı yazıyorum

k(k+7)/2 + 5k+6=Burayada (k+1)'i uyguluyorum. oda (k+1)(5k+5+7)/2


5k+6 neden oldu orası?SAyıların arasında 5 fark olduğu için mi?Birde eşitliğin diğer tarafına (k+1) koyduğumda neden 5k+5+7 oldu?

umarım anlatabilmişimdir :) Yardım ederseniz sevinirim.

[SpiderS_DangeR]

Abi formülün doğru olduğuna eminmisin? Çünkü 1 verince 6=4 çıkıyo?

[Chewy]

pardon ya 5n yazcaktım n yazmışım

[dory]

yazdigin sekliyle, asil denklem hatali gibi geldi.
yazim hatasi yapmadinsa, saglamiyo.

[Chewy]

ya aslında son step i anlamıoyurm p(k+1) koyduğumuz yeri :S

5k+1 koydum tamam k'ya ama 5k+6 nerden geldi ?

neresi yanlış bir daha bakıyım kagıda

[dory]

5(k+1) + 1 oldugu icin

[dory]

k yerine k +1 yazcam demissin cunkum

[Chewy]

hıı o p=5 oldu yane

tmm :)

[SpiderS_DangeR]

Abi bir yanlışlık var formülde sanırım.
Mesela 1+2+3..n = n(n+1)/2 ya
Direk son aşamaya geçiyorum:
n yerine n+1 yazıyorsun ve onu formüle n+1 ekleyip eşitliyorsun. Yani:

(n+1)(n+2)/2 = n(n+1)/2 + n+1

Bu eşitliktende n^2+3n+2=n^2+3n+2 çıkıyo yani doğru olmuş oluyo

[Gaap]

Biri şöyle uzun ve anlaşılır biçimde açıklasa ya merak ettim :D

[dory]

esitlik dogru mudur diye bakmadim, kontrol etmedim.
anlamadigi yeri soyledim
bu gorevi sinaya birakiyorum ben ortamslara akicam hazirlanmam lazim.

[riglous]

Bak simdi diyorsun ki;
6+11+16.......+5n+1=n(5n+7)/2 (1)

2. adimda da dedin ki (varsaydin)
6+11+16.......+5k+1=k(5k+7)/2 (2)

Simdi dusun ki n'in alabilecegi bir sonraki deger k+1. O zaman senin elindeki denklem dogruysa k'dan bir sonraki sayi icin de gecerli olmasi lazim. Yani

(6+11+16.......+5k+1) + 5(k+1)+1 = (k+1)(5(k+1)+7)/2
Denklemin sag tarafini kurcalayaraktan
(6+11+16.......+5k+1) + 5(k+1)+1 = k(5k+7)/2 + 5(k+1)+1

Zaten coktan (2)'de sol tarafin denkligi konusunda varsayimda bulmustun;
(=? dedim cunku daha esit mi degil mi bilmiyoruz)
(k(5k+7)/2) + 5(k+1)+1 =? k(5k+7)/2 + 5(k+1)+1

(k(5k+7)/2) = k(5k+7)/2 (Yani esitmis)

k+1 icin dogruysa, o zaman k icin haydi haydi dogrudur. O zaman 6+11+16.......+5n+1=n(5n+7)/2 kanitlanmistir.

[Chewy]

riglous said:

O zaman senin elindeki denklem dogruysa k'dan bir sonraki sayi icin de gecerli olmasi lazim. Yani

(6+11+16.......+5k+1) + 5(k+1)+1 = (k+1)(5(k+1)+7)/2

burayımı söylüyorsun bir sonraki sayi içinde geçerli oldugunu göstermemiz için?

[Ardeth]

Tümevarım, elinde bir doğal sayı setine bağlı bir problem olduğunda kullanılabilen bir yöntemdir. Bunu sadece denklem kanıtlamakta kullanılan bir yöntem sanma, matematikçiysen ilerde kümelerin kardinaliteleri üzerinden tüme varım yapmak gibi fantastik işlere girişebilirsin. Burda senin elindeki doğal seti n=1,2,3.....

Sen şimdi en başta o eşitliğin n=1 için doğru olduğunu gösterdin. Şimdi herhangi bir n=k doğru olduğunda n=k+1 için doğru olduğunu gösterirsen herhangi bir n için doğru olduğunu göstermiş olursun. Neden mi? n=1 için doğru olduğunu göstermiştin zaten. Ondan sonra yaptığın kanıt da n=1 için doğru ise n=1+1 içinde doğru olduğunu gösterir. E n=2 için doğruysa yine aynı sebeple n=2+1 için de doğrudur. Böyle böyle istediğin bir n'e kadar gidebilirsin. Başka tüme varım modelleri de var bu biri. Şimdi soruya gelirsek,


6+11+16.......+5n+1=?n(5n+7)/2

Bu n=1 için doğru. Şimdi herhangi bir doğal sayı k için doğru olduğunu varsay.

yani 6+11+.....5k+1 = k(5k +7)/2

Şimdi bu bilgiyi kullanarsak (k+1) için de doğru olduğunu göstermen lazım.

Yani 6+11+16+.....+ 5k+1 + 5(k+1) +1 =? (k+1)(5(k+1)+7)/2

Şimdi sol tarafın k. terimine kadar olan kısmı için yaptığımız var sayımdaki değeri koy

k(5k +7)/2 + 5(k+1) +1 =? (k+1)(5(k+1)+7)/2

= k(5k + 7) + 10(k+1) +2 = 5(k^2 + 2k + 1) + 7(k+1)

Sağ taraf tam olarak 5k^2 + 17k + 12 bu tam olarak sol taraf.

Fark ettiysen bu kanıdı yaparken denklemin k için doğru olduğunu var sayımını kullandık. Gösterdiğimiz şey genel, herhangi bir k sayısı için geçerli ise k+1 için de geçerli. Şimdi 1den başla. 1 için geçerli olduğunu elle gösterdin. Yaptığın genel kanıt sana 2 için doğru olduğunu söylüyor. 2 için doğruysa, 3 için de doğru. 3->4->5... vs...

[Arma]

Zaten açıklamışlar. Bir daha dersen akşamda ben anlatayım :]

[Chewy]

oke ya saolun anladım ;)

[Ardeth]

anlamadıysan bi daha anlatayım sdf

çeşitli çeşitli tümevarımlar yapmak mümkün.

mesela çeşitli durumlarda verilen problemin tüm 2^nler için sağlandığını gösteriyorsun önce.

sonra ikinci adım da herhangi bir k için doğruysa ondan küçük her k için doğru olduğunu gösteriyorsun böylece tüm doğal sayılar için doğru olduğunu göstermiş oluyorsun gibi

yaratıcılığını kullanabilirsin tümevarım konusunda