Differential equation/Differentialgleichung evet turkcesini bilmiyorum

[sigisMoNd]

soru asagidaki esitligi cozmek:

y" - 2y' = e^x . sinx ---->((e uzeri x) carpi sinus x)

simdi bunun cozumunde bir homojen kisim bir de partikuler kisim hesaplanir bilen bilir. homojen kisim kolaydir o kismini hesapladim zaten sdf

verilen esitligi 0'a esitleyince normal 2. dereceden denklem gibi cozuluyor. oradan 0 ve 2 gelince

y(h) = C1 + C2.e^2x

cikti homojen kisim. simdi bu partikuler kismi nasil halledicem? bilen pati varsa yardim edebilir mi?

edit: cevap da burada yaziyor TIK

[Ardeth]

Şimdi sana lie cebiri kullanarak çok güzel bir çözüm yazardım ama muhtemelen uygulayamacağın için bir faydası olmazdı. sana en kısa zamanda gidip bir lie cebiri ile diferansiyel denklem çözme dersi almanı tavsiye ederim varsa (istersen onu da yazarım tabi buraya).

Onun yerine dandik "method of undetermined coefficients" ya da "variation of parameters" kullanabilirsin. Variation of parameters aslında biraz green fonksiyonu kullanmaya benzer. İlki daha kolay onu anlatayım:

y" - 2y' = e^x . sinx

Bu metotda, homojen olmayan çözüm için bir tahminde bulunuyorsun önce. Sağ tarafta kalan eleman P(t)*e^(at)sin(bt) (veya cos(bt)) cinsinden olduğu zaman [burda P(t) t'nin bir polinomu] çözümün:

t^s[ (A_0*t^n ....A_1)*e^(at)sin(bt) + (B_0*t^n ....B_1)*e^(at)cos(bt) ]

cinsinden olduğunu tahmin ediyorsun. n P(t) polinomunda t'nin en yüksek derecesi. Senin durumunda öyle bir polinom yok yani n=0 ve o çözüm

t^s[ A_1*e^(at)sin(bt) + B_1*e^(at)cos(bt) ]

oluyor. t^s ne olaki diye soruyorsun. Burda işin içine homojen çözüm giriyor. Es kaza olaki senin yazdığın bu çözümün herhangi bir terimi homojen çözümlerden birine eşit, o zaman o homojen çözüm olmaktan çıkana kadar t ile çarpıyorsun. Örnek vermek gerekirse, senin e^(at)cos(bt) diye bir homojen çözümün varsa bu denklem için (ki senin durumunda yok), s=1 oluyor. Tut ki t*e^(at)*cos(bt) diye bir homojen çözümün var, o zaman s=2 oluyor. Kısacası tahmini çözümünün herhangi bir teriminin homojen bir çözüme eşit olmamasını istiyorsun. Sende sorun yok dolayısıyla s=0.

Şimdi al Y= [ A_1*e^(at)sin(bt) + B_1*e^(at)cos(bt) ]
bunu diferansiyel denklemin içine koy, değerleri bul. Ha bu arada küçük a ve b diferansiyel denkleminde eksponansiyel ve cos içersinde bulunan kat sayılar (yani senin durumunda ikisi de bir). Dolayısıyla Y= A_1*e^(t)sin(t) + B_1*e^(t)cos(t). Bu çözümü bulduktan sonra tepesine bir de homojen çözümü ekliyorsun.

[Pen Duick]

o değil de
TÜRKÇESİNİ NASI BİLMİYOSUN YA
diferansiyel denklemler yazıyor orda 2 dilde
sen bunları yazıp türkçesini bilmediğini iddia ediyorsun
çok fena çok

[GEd]

hehe

[Ardeth]

Ya da alternatif olarak sana variation of parameters (green fonksiyonu yönteminin yandan yemişi) metodunu anlatayım kanıdına girmiyorum tabi ki:

g(t) diye bir fonksiyon tanımla:

u1(t), u2(t) iki tane gelişigüzel fonksiyon. y1 ve y2 bir birinden bağımsız iki homojen çözüm.

g(t)=u1'y1' + u2'y2'

o zaman genel çözüm Y

Y= u1(t)y1(t) + u2(t)y(t) + homojen çözüm oluyor.

Kısacası partiküler(?) çözümün homojen çözümlerin t cinsinden fonksiyonlarla çarpılıp toplanmış hali olduğunu düşünüyorsun ki öyle düşününce u1 ve u2 şöyle çıkıyor en genel haliyle:

u1(t)=-integral([y2(t)g(t)/W(y1,y2)]dt)
u2(t)= integral([y1(t)g(t)/W(y1,y2)]dt)

W de wronskian

Burda aslında g(t)/W(y1,y2) diye geçen arkadaş green fonksiyonun ta kendisi yanılmıyorsam.

[sigisMoNd]

@Ardeth: cok saol aciklama icin :)

"Pen Duick" said:

o değil de
TÜRKÇESİNİ NASI BİLMİYOSUN YA
diferansiyel denklemler yazıyor orda 2 dilde
sen bunları yazıp türkçesini bilmediğini iddia ediyorsun
çok fena çok

arkadasim lisede bile turkce gormedim ben matematigi. diferensiyali cat diye hemen turkceye aldiklarini nerden biliyim? googledan da turkce olarak arastirmisligim yoktur metamatigi. belki onun da daha turkcesi vardir diye dusunerekten oyle yazdim.
o yuzden TURKCESINI BILMIYORUM BE ABI. ve evet cok fena

tekrar tesekkurler Ardeth

edit: Ardeth linear cebir kullanarak da anlatir misin cok ugrastirmazsa

[GEd]

No OFFENSE equation , gleichung = denklem , eşitlik yazabilirdin ama
:)


Almanca eğitim aldığına göre equationa çevirene kadar gleichung kelimesini denklem, eşitlik kelimesine çevirebilirdin belki.

[Ardeth]

sigisMoNd said:

edit: Ardeth linear cebir kullanarak da anlatir misin cok ugrastirmazsa

alalal niye herkes lie cebiri deyince lineer cebir anlıyor. lineer cebir değil sdf. O dediğim yöntemde önce diferansiyel denklemin simetrilerini buluyorsun, ki eğer bu denklem için iki tane simetri çıkarsa (tahminnen çıkması lazım) ikisini kullanarak x ve y cinsinden bir eşitliğe düşürüyorsun diferansiyel denklemi.

[sigisMoNd]

@Ardeth: tamam abi o zaman. onu duymadim hic bosver. saol yine de dsf

@GEd: soruda aciklarken esitlik demisim zaten basta ama diferansiyel gelmeyince aklima yarisi baska dil diger yarisi baska dil olmasin dedim. differential equation da zaten verdigim linkte yaziyor. cevirmek icin ayrica bir caba harcamadim yani.